Program Code Version 4

Alpha Function - Sequence Generator Code

The Alpha Function has been defined using program code shown below.

Special code is used for Sequence Generating which should be much simpler to explain and understand. The code below replaces the Microsoft VBA code described in Version 3 and corrects a number of errors in that version.

Version 5 of this code has been started to expand the range of Veblen ordinals and FGH large numbers that can be accessed and represented by these sequences. Version 5 is not intended to modify any of the sequences already accessible by Version 4, however, there will likely be changes to the Alpha Numbers for these sequences and if this is the case my blog on the Alpha Function will be updated.

Program Code Version 4

Version 4 uses Sequence Generating code to create long finite integer strings to define large Veblen ordinals and FGH functions (up to the size of SVO). Refer to my other blog on Unique Ordinal Representation for a theoretical explanation of the unique representations used. This section will focus on how Sequence Generating code is used to generate the unique representations.

Lets start with the following definition for a recursively defined arbitrary ordinal called \(\gamma\):

\(\gamma = (\mu\uparrow\uparrow t)^{\gamma_e}.\gamma_c + \gamma_a\) where \(\mu = \varphi(\gamma_{[q]})\)

The Sequence Generating Code for the above follows this pattern:

\(g = (q,m_0,T,g_E,g_C,g_a)\)

\(m = (p,R,g_F,g_{[q]},n_0)\)

\(n = (Q,g_{[Q]},S,n_1)\)

The convention used above is as follows:

standalone characters represent a finite integer, e.g. \(0 <= q = 3\)

standalone uppercase characters represent a finite integer, e.g. \(0 < T = 3\)

characters with subscripts represent a recursive sequence using the code, e.g. \(g_a = (q,m_0,t,g_E,g_C,g_{a_2})\)

The sequence generating rules that apply are:

• \(g = (q,m_0,T,g_E,g_C,g_a)\)
  • \(q =\) any finite integer
  • \(m_0 =\) a generated \(m\) sequence
  • \(T =\) any finite integer
  • \(g_E =\) a generated \(g\) sequence smaller than:
    • \((q-m_0,T(1:,1))\) i.e. the \(g_E\) sequence must be smaller than the generated values from \(q\) to \(T\)
    • \(T(1:,1)\) implies conditional rules such that if \(T = 1\) a blank is used, else the constant 1 is used.
  • \(g_C =\) a generated \(g\) sequence smaller than:
    • \((q-T)\) i.e. the \(g_C\) sequence must be smaller than the generated values from \(q\) to \(T\)
  • \(g_a =\) a generated \(g\) sequence smaller than:
    • \((q-g_E)\) i.e. the \(g_C\) sequence must be smaller than the generated values from \(q\) to \(g_E\)
• Other conditional rules that apply to complete the \(g\) sequence generating rules are:
  • \(g = (q(0:a,m_0,T,g_E,g_C,g_a))\) or sequence will terminate after one finite integer is assigned for \(a\) if \(q = 0\)
  • \(g = (q(0:a,q(1:,m_0),T,g_E,g_C,g_a))\) or the \(m_0\) is not required if \(q = 1\)

• \(m = (p,R,g_F,g_{[q]},n_0)\)
  • \(p < q\)
  • \(R =\) any finite integer
  • \(g_F =\) a generated \(g\) sequence smaller than \((q)\):
  • \(g_1 =\) a generated \(g\) sequence smaller than \((q,0,0,g_F)\)
  • \(g_{i+1} =\) a generated \(g\) sequence smaller than \((q,0,0,g_F-g_i\)
  • \(n_0 =\) a generated \(n\) sequence smaller than \((q,g_F-g_{q-1}\)

• \(n = (Q,g_{[Q]},S,n_1)\)
  • \(Q < q\)
  • \(g_1 =\) a generated \(g\) sequence smaller than \((Q)\):
  • \(g_{i+1} =\) a generated \(g\) sequence smaller than \((Q-g_i\)
  • \(S =\) any finite integer
  • \(n_1 =\) a generated \(n\) sequence smaller than \((Q-g_{[q-1]}\)
• A conditional rule that applies to complete the \(n\) sequence generating rules is:
  • \(n = (Q(0:,g_{[Q]},S,n_1))\) or sequence will at \(Q\) if \(Q = 0\)

For completeness the parameters that are passed between the sequence generating rules when they call each other are defined as follows:

\(g(q) = (q(0:a,q(1:,m_0(q)),T,g_E(q),g_C(q),g_a(q)))\)

\(m(q) = (p,R,g_F(q),g_{[q]}(q),n_0(q))\)

\(n(q) = (Q(0:,g_{[Q]}(Q),S,n_1(Q)))\)

Sequence Generator Code

A separate blog will be written to explain how Sequence Generator Code is compiled and executed using a normal programming language ... Work in Progress.

Comparing Sequences When comparing two sequences \(h\) and \(j\), the equality \(h = j\), means every finite integer is identical in both sequences, the integers are in the same order and the sequences are the same length.

The magnitude of two sequences \(h < j\) is determined by the first finite integer element that differs between the sequences. The sequence with the lower integer is defined to be smaller, irrespective of the number and size of the remaining integers in either sequence. If the integers are identical but one sequence is shorter than the other then the shorter sequence is defined to be smaller. Therefore:

\(h < j\) when \(h = (7,4,31,41,61,...)\) and \(j = (7,4,32,22,12,...)\)

\(h < j\) when \(h = (1,0,0,4,3)\) and \(j = (1,0,0,4,3,...)\)

All trailing zeroes in a sequence are removed by definition.

Valid Sequence Counts

As an aside, it is interesting to estimate the number of valid sequences \(C(n)\) that are generated by this code. Refer to my blog on Valid Sequence Counts for more detail on this.

Using those calculations and some estimating the growth rate of valid sequences to be:

\(f_{\omega}(n) << C(n) << f_{\omega + 1}(n)\)

Example Sequences \(\alpha(1)\) to \(\alpha(30)\)

The following example sequences have been generated by the Alpha Function for input values of 1 to 30.

\(\alpha(1) = (<0,0>,0,0) = 0\)

\(\alpha(2) = (<0,2>,2,8)\)

\(\alpha(3) = (<0,3>,4,6)\)

\(\alpha(4) = (<0,4>,3,8)\)

\(\alpha(5) = (<0,4>,9,14)\)

\(\alpha(6) = (<0,5>,5,6)\)

\(\alpha(7) = (<0,5>,10,16)\)

\(\alpha(8) = (<0,8>,3,14)\)

\(\alpha(9) = (<0,10>,7,13)\)

\(\alpha(10) = (<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,2,2)\)

\(\alpha(11) = (<1,0,<0,2>,<0,0>,<0,2>>,7,9)\)

\(\alpha(12) = (<1,0,<0,3>,<0,7>,<0,1>>,6,9)\)

\(\alpha(13) = (<1,0,<0,5>,<0,4>,<0,1>>,3,6)\)

\(\alpha(14) = (<1,1,<0,0>,<0,2>,<0,3>>,4,11)\)

\(\alpha(15) = (<1,1,<0,1>,<1,0,<0,1>,<0,5>,<1,0,<0,0>,<0,1>,<0,1>>>,<1,1,<0,0>,<0,5>,<0,2>>>,3,10)\)

\(\alpha(16) = (<1,1,<0,3>,<0,0>,<0,0>>,4,8)\)

\(\alpha(17) = (<1,1,<0,4>,<0,4>,<0,1>>,3,9)\)

\(\alpha(18) = (<1,1,<0,5>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,5>>,<1,0,<0,9>,<0,0>,<1,0,<0,0>,<0,5>,<0,1>>>>,6,13)\)

\(\alpha(19) = (<1,1,<0,10>,<1,0,<0,1>,<0,4>,<0,0>>,<0,4>>,6,13)\)

\(\alpha(20) = (<1,2,<0,0>,<1,1,<0,0>,<0,0>,<0,2>>,<1,0,<0,2>,<0,1>,<0,4>>>,5,15)\)

\(\alpha(21) = (<1,2,<0,1>,<1,1,<0,1>,<0,1>,<0,2>>,<1,0,<0,5>,<0,4>,<1,0,<0,1>,<0,6>,<0,0>>>>,2,15)\)

\(\alpha(22) = (<1,2,<0,2>,<1,1,<0,0>,<1,0,<0,4>,<0,1>,<1,0,<0,2>,<0,1>,<1,0,<0,1>,<0,4>,<0,3>>>>,<1,0,<0,3>,<0,5>,<0,2>>>,<1,0,<0,3>,<0,2>,<0,3>>>,4,10)\)

\(\alpha(24) = (<1,2,<0,4>,<1,0,<0,3>,<0,4>,<1,0,<0,0>,<0,2>,<0,0>>>,<0,4>>,7,7)\)

\(\alpha(25) = (<1,2,<0,5>,<0,20>,<0,11>>,7,28)\)

\(\alpha(26) = (<1,2,<0,8>,<0,4>,<1,1,<0,1>,<0,11>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,2>>>>,5,13)\)

\(\alpha(27) = (<1,3,<0,0>,<0,1>,<1,2,<0,3>,<0,8>,<0,5>>>,3,12)\)

\(\alpha(28) = (<1,3,<0,0>,<1,2,<0,3>,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,5>,<0,0>>>,<0,5>>,5,11)\)

\(\alpha(29) = (<1,3,<0,1>,<1,0,<0,10>,<0,2>,<0,1>>,<1,3,<0,0>,<1,0,<0,2>,<0,2>,<1,0,<0,1>,<0,2>,<0,5>>>,<0,4>>>,10,15)\)

\(\alpha(30) = (<1,3,<0,2>,<0,5>,<0,4>>,3,14)\)

Example Sequences \(\alpha(10)\) to \(\alpha(300)\)

The following example sequences have been generated by the Alpha Function for input values of 10 to 300.

\(\alpha(10) = (<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,2,2)\)

\(\alpha(20) = (<1,2,<0,0>,<1,1,<0,0>,<0,0>,<0,2>>,<1,0,<0,2>,<0,1>,<0,4>>>,5,15)\)

\(\alpha(30) = (<1,3,<0,2>,<0,5>,<0,4>>,3,14)\)

\(\alpha(40) = (<1,4,<0,1>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,2>>,<1,0,<0,5>,<0,3>,<0,4>>>,4,12)\)

\(\alpha(50) = (<1,4,<0,7>,<1,1,<0,11>,<1,0,<0,2>,<0,10>,<1,0,<0,0>,<0,5>,<0,0>>>,<0,2>>,<0,7>>,2,16)\)

\(\alpha(60) = (<1,5,<0,3>,<0,1>,<1,3,<0,5>,<0,2>,<1,1,<0,0>,<0,1>,<1,0,<0,2>,<0,2>,<1,0,<0,0>,<0,3>,<0,1>>>>>>,3,16)\)

\(\alpha(70) = (<1,5,<0,8>,<1,3,<0,4>,<1,1,<0,5>,<1,0,<0,3>,<0,5>,<0,0>>,<0,3>>,<1,3,<0,2>,<0,0>,<1,0,<0,1>,<0,5>,<0,11>>>>,<1,4,<0,2>,<1,0,<0,2>,<0,0>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,4>>>,<1,2,<0,4>,<1,1,<0,0>,<0,0>,<1,0,<0,2>,<0,4>,<0,5>>>,<0,3>>>>,7,16)\)

\(\alpha(80) = (<1,8,<0,1>,<1,4,<0,1>,<0,1>,<0,9>>,<1,8,<0,0>,<1,1,<0,4>,<1,0,<0,3>,<0,11>,<1,0,<0,2>,<0,9>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,5>>>>,<0,3>>,<0,4>>>,2,12)\)

\(\alpha(90) = (<1,10,<0,5>,<0,4>,<0,3>>,7,15)\)

\(\alpha(100) = (<2,<0,0,<0,0>,<0,0>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,2,2)\)

\(\alpha(110) = (<2,<0,0,<1,5,<0,1>,<0,2>,<1,1,<0,1>,<1,0,<0,5>,<0,4>,<1,0,<0,4>,<0,4>,<0,3>>>,<0,5>>>,<1,2,<0,4>,<1,0,<0,9>,<0,1>,<0,1>>,<0,2>>,0>,0,<0,4>,<0,1>,<0,1>>,4,18)\)

\(\alpha(120) = (<2,<0,1,<1,2,<0,1>,<1,1,<0,5>,<1,0,<0,3>,<0,2>,<1,0,<0,0>,<0,1>,<0,2>>>,<0,5>>,<1,0,<0,5>,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,2>,<0,1>>>>,<1,3,<0,5>,<0,2>,<1,1,<0,2>,<1,0,<0,5>,<0,3>,<0,0>>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,2>>>>,<2,<0,5>,<1,4,<0,0>,<1,1,<0,10>,<0,8>,<1,1,<0,8>,<1,0,<0,2>,<0,4>,<0,5>>,<0,4>>>,<0,8>>,2>,0>,4,<2,<0,2,<1,2,<0,9>,<1,0,<0,18>,<0,0>,<0,0>>,<0,3>>,<0,5>,0>,3,<0,10>,<0,1>,<0,11>>,<2,<0,2,<0,11>,<2,<0,0,<1,3,<0,3>,<0,5>,<0,13>>,<2,<0,0,<1,3,<0,1>,<1,0,<0,9>,<0,9>,<1,0,<0,7>,<0,6>,<1,0,<0,5>,<0,1>,<1,0,<0,2>,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>>>>>,<0,0>>,<0,0>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>,2,19)\)

\(\alpha(130) = (<2,<0,2,<0,5>,<0,21>,<2,<0,3>,<1,2,<0,0>,<1,1,<0,2>,<1,0,<0,11>,<0,2>,<0,2>>,<1,1,<0,0>,<0,13>,<1,0,<0,1>,<0,5>,<0,10>>>>,<0,5>>,1>,0>,3,<0,0>,<1,10,<0,0>,<0,0>,<1,8,<0,5>,<0,3>,<0,4>>>,<2,<0,1,<0,3>,<0,0>,0>,0,<0,1>,<1,9,<0,4>,<0,3>,<0,4>>,<0,3>>>,2,22)\)

\(\alpha(140) = (<2,<0,3,<0,0>,<1,9,<0,1>,<1,3,<0,2>,<1,0,<0,1>,<0,1>,<1,0,<0,0>,<0,5>,<0,2>>>,<1,0,<0,1>,<0,2>,<0,7>>>,<1,5,<0,5>,<0,1>,<0,4>>>,<1,<0,2>,1>,0>,1,<0,4>,<2,<0,1,<0,2>,<1,4,<0,2>,<0,2>,<1,0,<0,8>,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,5>,<0,2>>>>,<1,<0,1>,1>,0>,0,<1,0,<4,<1,0,<3,<0,0,<0,2>,<0,3>,<2,<0,0,<0,3>,<0,1>,0>,2,<0,4>,<1,4,<0,6>,<0,1>,<1,2,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,1>,<0,1>>,<0,4>>>,<2,<0,0,<0,0>,<0,3>,<1,<0,0>,1>,0>,10,<0,0>,<0,4>,<1,1,<0,10>,<1,0,<0,1>,<0,5>,<1,0,<0,0>,<0,5>,<0,1>>>,<0,9>>>>,<1,<0,0>,4>,0>,2,<1,0,<0,2>,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,6>,<0,6>>>,<2,<0,2,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>,<0,0>,<0,0>,<0,0>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>,<0,3>>,<0,0>>,2,11)\)

\(\alpha(150) = (<2,<0,3,<1,2,<0,5>,<0,5>,<1,0,<0,1>,<0,5>,<0,2>>>,<0,3>,0>,1,<2,<0,6,<0,5>,<0,1>,<2,<0,1>,<1,10,<0,0>,<0,9>,<0,0>>,1>,0>,1,<0,0>,<0,2>,<0,0>>,<1,4,<0,0>,<0,1>,<0,1>>,<1,1,<0,2>,<0,4>,<1,1,<0,1>,<0,1>,<1,0,<0,5>,<0,3>,<0,2>>>>>,4,15)\)

\(\alpha(160) = (<2,<0,4,<0,4>,<0,0>,0>,3,<0,4>,<1,1,<0,3>,<1,0,<0,5>,<0,4>,<0,4>>,<1,0,<0,2>,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>>>,<1,0,<0,2>,<0,8>,<1,0,<0,1>,<0,0>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,1>>>>>,12,16)\)

\(\alpha(170) = (<2,<0,4,<1,4,<0,5>,<0,3>,<1,1,<0,10>,<0,3>,<0,0>>>,<1,3,<0,4>,<0,2>,<1,0,<0,4>,<0,11>,<1,0,<0,0>,<0,2>,<0,1>>>>,0>,5,<0,0>,<0,2>,<1,2,<0,1>,<1,1,<0,0>,<0,8>,<0,5>>,<0,10>>>,7,16)\)

\(\alpha(180) = (<2,<0,5,<0,5>,<0,0>,<2,<0,0>,<1,0,<0,2>,<0,2>,<1,0,<0,1>,<0,0>,<1,0,<0,0>,<0,5>,<0,10>>>>,2>,0>,0,<0,1>,<1,0,<2,<0,9,<1,5,<0,3>,<1,4,<0,3>,<1,1,<0,5>,<0,13>,<0,5>>,<0,3>>,<1,3,<0,2>,<0,1>,<0,0>>>,<0,5>,<2,<0,4>,<1,1,<0,10>,<1,0,<0,1>,<0,3>,<0,3>>,<1,0,<0,16>,<0,0>,<1,0,<0,1>,<0,4>,<1,0,<0,0>,<0,4>,<0,0>>>>>,0>,<2,<0,4>,<0,1>,2>,0>,0,<0,3>,<0,3>,<1,0,<5,<0,9,<0,3>,<2,<0,0,<0,3>,<0,0>,<1,<0,1>,0>,<1,<0,0>,2>,0>,0,<0,2>,<0,2>,<1,0,<1,1,<0,0>,<0,6>,<0,6>>,<2,<0,0,<0,1>,<1,5,<0,1>,<1,2,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>,<0,0>>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>>,<0,0>,<0,0>,<0,0>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>,<0,0>>>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>,2,17)\)

\(\alpha(190) = (<2,<0,5,<1,4,<0,10>,<1,1,<0,5>,<1,0,<0,0>,<0,8>,<0,4>>,<0,3>>,<0,0>>,<1,2,<0,4>,<0,3>,<1,0,<0,1>,<0,5>,<0,5>>>,<1,<0,3>,0>,<6,<0,1>,<0,4>,<0,10>,<1,1,<0,5>,<0,13>,<0,5>>,<0,3>,<1,3,<0,2>,<0,1>,<0,0>>,0>,<5,<2,<0,4,<1,1,<0,10>,<1,0,<0,1>,<0,3>,<0,3>>,<1,0,<0,16>,<0,0>,<1,0,<0,1>,<0,4>,<1,0,<0,0>,<0,4>,<0,0>>>>>,<0,2>,0>,4,<0,1>,<2,<0,0,<0,3>,<0,3>,<1,<0,5>,0>,<9,<0,3>,<2,<0,0,<0,3>,<0,0>,<1,<0,1>,0>,<1,<0,0>,2>,0>,0,<0,2>,<0,2>,<1,0,<1,1,<0,0>,<0,6>,<0,6>>,<2,<0,0,<0,1>,<1,5,<0,1>,<1,2,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>,<0,0>>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>>,<0,0>,<0,0>,<0,0>,<0,0>,<0,0>,<0,0>,<0,0>,0>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>,<0,0>,<0,0>,<0,0>,<0,0>,0>,0>,0,<0,3>,<0,0>,<2,<0,0,<0,0>,<0,0>,0>,0,<0,3>,<1,2,<0,0>,<1,0,<0,10>,<0,4>,<1,0,<0,8>,<0,3>,<0,0>>>,<1,1,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>>,<0,0>>>,2,21)\)

\(\alpha(200) = (<2,<0,8,<0,3>,<1,0,<0,1>,<0,9>,<1,0,<0,0>,<0,3>,<0,3>>>,<1,<0,0>,1>,0>,2,<1,0,<0,0>,<1,0,<0,0>,<1,0,<1,5,<1,0,<3,<0,6,<0,1>,<0,4>,<0,10>,<1,<1,0,<5,<0,13,<0,5>,<0,3>,<1,3,<0,2>,<0,1>,<0,0>>,<0,5>,<2,<0,4,<1,1,<0,10>,<1,0,<0,1>,<0,3>,<0,3>>,<1,0,<0,16>,<0,0>,<1,0,<0,1>,<0,4>,<1,0,<0,0>,<0,4>,<0,0>>>>>,<0,2>,0>,4,<0,1>,<2,<0,0,<0,3>,<0,3>,<1,<0,5>,0>,<9,<0,3>,<2,<0,0,<0,3>,<0,0>,<1,<0,1>,0>,<1,<0,0>,2>,0>,0,<0,2>,<0,2>,<1,0,<1,1,<0,0>,<0,6>,<0,6>>,<2,<0,0,<0,1>,<1,5,<0,1>,<1,2,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>,<0,0>>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>>,<0,0>,<0,0>,<0,0>,<0,0>,<0,0>,<0,0>,<0,0>,0>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>,<0,0>>,3>,0>,0,<2,<0,0,<0,0>,<0,0>,0>,0,<0,3>,<1,2,<0,0>,<1,0,<0,10>,<0,4>,<1,0,<0,8>,<0,3>,<0,0>>>,<1,1,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>>,<0,0>>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>,<0,4>>,<0,0>,<0,3>>,6,10)\)

\(\alpha(210) = (<2,<0,11,<0,5>,<0,1>,<2,<0,2>,<0,1>,2>,0>,0,<0,8>,<0,10>,<1,0,<0,4>,<0,0>,<0,0>>>,2,18)\)

\(\alpha(220) = (<2,<1,0,<0,2>,<1,2,<0,2>,<1,1,<0,3>,<1,0,<0,2>,<0,5>,<1,0,<0,1>,<0,8>,<0,3>>>,<1,1,<0,1>,<1,0,<0,2>,<0,1>,<0,11>>,<0,1>>>,<0,0>>,<1,<0,4>,0>,<4,<1,1,<0,2>,<1,0,<0,1>,<0,11>,<0,10>>,<0,3>>,<0,0>,<2,<1,0,<0,0>,<0,9>,<2,<0,0>,<0,4>,1>,0>,8,<1,0,<1,1,<0,3>,<0,3>,<0,0>>,<0,5>,<2,<1,0,<0,0>,<0,1>,0>,4,<0,5>,<0,0>,<0,4>>>,<2,<0,0,<0,0>,<1,0,<2,<0,4,<0,3>,<2,<0,0,<0,3>,<0,9>,0>,16,<0,5>,<0,2>,<2,<0,0,<0,2>,<0,5>,<1,<0,2>,0>,0>,0,<0,0>,<0,2>,<0,0>>>,0>,0,<1,3,<0,11>,<0,1>,<1,0,<0,2>,<0,0>,<1,0,<0,1>,<0,5>,<0,0>>>>,<1,0,<2,<0,2,<0,4>,<1,0,<0,6>,<0,6>,<1,0,<0,4>,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>>>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>,<0,0>,<0,0>>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,3>>,<0,0>,2>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,6,16)\)

\(\alpha(230) = (<2,<1,0,<1,1,<0,2>,<0,6>,<1,0,<0,6>,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,4>,<0,8>>>>,<1,3,<0,9>,<0,2>,<1,3,<0,7>,<1,2,<0,2>,<0,3>,<1,2,<0,1>,<1,1,<0,7>,<1,0,<0,1>,<0,1>,<1,0,<0,0>,<0,5>,<0,5>>>,<1,0,<0,4>,<0,4>,<1,0,<0,2>,<0,0>,<0,1>>>>,<0,2>>>,<1,0,<0,7>,<0,3>,<0,1>>>>,<2,<0,6>,<1,6,<0,1>,<0,3>,<1,2,<0,3>,<0,2>,<0,2>>>,2>,0>,4,<1,8,<0,3>,<1,1,<0,4>,<0,16>,<0,11>>,<1,5,<0,3>,<0,3>,<1,2,<0,10>,<1,0,<0,5>,<0,4>,<1,0,<0,3>,<0,0>,<1,0,<0,2>,<0,1>,<1,0,<0,1>,<0,0>,<0,0>>>>>,<0,0>>>>,<0,0>,<0,0>>,2,17)\)

\(\alpha(240) = (<2,<1,0,<1,11,<0,3>,<0,4>,<1,0,<0,4>,<0,0>,<0,4>>>,<0,4>,<2,<0,7>,<0,10>,1>,0>,2,<0,3>,<2,<0,4,<0,1>,<0,3>,<1,<0,2>,1>,0>,4,<0,4>,<0,3>,<2,<0,1,<0,6>,<0,0>,0>,2,<0,0>,<0,5>,<1,11,<0,0>,<0,8>,<1,1,<0,5>,<0,0>,<1,0,<0,1>,<0,3>,<0,8>>>>>>,<0,3>>,2,12)\)

\(\alpha(250) = (<2,<1,1,<0,4>,<1,15,<0,0>,<1,12,<0,6>,<1,1,<0,5>,<1,0,<0,3>,<0,0>,<1,0,<0,1>,<0,2>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,3>>>>,<0,2>>,<0,2>>,<1,0,<0,5>,<0,5>,<0,0>>>,0>,4,<1,7,<0,8>,<0,0>,<0,2>>,<1,5,<0,1>,<1,2,<0,10>,<1,0,<0,4>,<0,1>,<1,0,<0,1>,<0,9>,<1,0,<0,0>,<0,1>,<0,0>>>>,<1,2,<0,7>,<0,2>,<0,0>>>,<0,5>>,<0,2>>,7,20)\)

\(\alpha(260) = (<2,<1,1,<1,3,<0,0>,<0,0>,<0,2>>,<1,10,<0,0>,<0,0>,<0,4>>,<2,<1,1,<0,8>,<0,4>,<1,1,<0,5>,<1,0,<0,6>,<0,0>,<0,5>>,<1,0,<0,1>,<0,0>,<0,5>>>>,<1,4,<0,0>,<0,5>,<1,1,<0,8>,<1,0,<0,1>,<0,4>,<0,10>>,<0,4>>>,2>,<1,<0,0>,2>,0>,5,<0,0>,<0,8>,<2,<1,0,<0,1>,<0,3>,<1,<0,0>,0>,0>,0,<0,3>,<2,<1,0,<0,1>,<0,1>,0>,5,<0,3>,<2,<0,2,<0,3>,<0,0>,0>,0,<0,3>,<2,<0,0,<1,5,<0,5>,<1,1,<0,3>,<0,14>,<0,4>>,<0,4>>,<1,5,<0,0>,<1,4,<0,5>,<1,3,<0,1>,<1,1,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>,<0,0>>,<0,0>>,<0,0>>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>,<0,0>>,<0,0>>>,2,15)\)

\(\alpha(270) = (<2,<1,2,<0,0>,<1,4,<0,3>,<0,8>,<0,5>>,0>,4,<0,7>,<0,5>,<0,4>>,2,11)\)

\(\alpha(280) = (<2,<1,2,<0,5>,<0,9>,<1,<0,3>,1>,0>,5,<0,0>,<1,4,<0,0>,<1,0,<0,2>,<0,1>,<0,4>>,<1,2,<0,4>,<0,5>,<1,1,<0,9>,<1,0,<0,5>,<0,3>,<0,6>>,<0,2>>>>,<1,1,<0,3>,<1,0,<0,4>,<0,2>,<0,1>>,<0,2>>>,5,13)\)

\(\alpha(290) = (<2,<1,2,<1,2,<0,10>,<0,4>,<0,3>>,<1,5,<0,3>,<0,2>,<0,1>>,<2,<1,2,<0,5>,<1,0,<0,3>,<0,7>,<0,2>>,<1,0,<0,5>,<0,3>,<0,4>>>,<0,3>,2>,<1,<1,0,<5,<1,0,<0,4>,<0,4>,<1,0,<0,2>,<0,4>,<0,2>>,<0,0>,<1,4,<0,2>,<1,0,<0,4>,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,5>,<0,2>>>,<0,5>>,<2,<0,1>,<0,1>,0>,<2,<1,3,<0,3>,<0,2>,<1,0,<0,3>,<0,5>,<1,0,<0,2>,<0,3>,<0,0>>>>,<1,4,<0,0>,<1,2,<0,5>,<0,6>,<0,5>>,<1,3,<0,0>,<1,0,<0,4>,<0,1>,<1,0,<0,2>,<0,6>,<1,0,<0,1>,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>>>>,<0,0>>>,0>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>,<0,0>>,0>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,2,11)\)

\(\alpha(300) = (<2,<1,3,<0,0>,<0,3>,<2,<0,0>,<0,1>,1>,0>,3,<0,1>,<0,0>,<2,<0,1,<0,0>,<1,1,<0,1>,<1,0,<0,6>,<0,2>,<0,14>>,<0,2>>,<1,<0,0>,0>,<2,<0,5>,<0,9>,1>,0>,0,<4,<0,5,<1,0,<0,3>,<0,7>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,5>>>,<1,1,<0,4>,<0,2>,<0,5>>,<0,0>,<0,5>,0>,2,<0,5>,<2,<0,1,<0,1>,<0,2>,<1,<3,<0,3,<0,2>,<1,0,<0,3>,<0,5>,<1,0,<0,2>,<0,3>,<0,0>>>,<1,4,<0,0>,<1,2,<0,5>,<0,6>,<0,5>>,<1,3,<0,0>,<1,0,<0,4>,<0,1>,<1,0,<0,2>,<0,6>,<1,0,<0,1>,<0,3>,<1,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>>>>,<0,0>>>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,0>,0>,0,<0,0>,<0,0>,<0,0>>,<0,0>>,<0,0>,<0,0>>>,10,23)\)

Test Bed for Version 4

Below is the test bed and various results using version 4.

Various Ordinals

\(\alpha(100) = \varphi(1,0)\)

\(\alpha(110) = \varphi((\omega\uparrow\uparrow 6)^{2}.3 + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{2}.(\omega^{6}.5 + \omega^{5}.5 + 3) + 5,(\omega\uparrow\uparrow 3)^{5}.(\omega^{10}.2 + 1) + 2)^{3}.((\varphi^{5}(1,\varphi(2,5) + 1_*)\uparrow\uparrow 12)^{4}.((\varphi^{2}(1,\varphi(2,0) + 1_*)\uparrow\uparrow 3)^{11}.4 + \varphi(2,0).12 + (\omega\uparrow\uparrow 21).((\omega\uparrow\uparrow 2)^{4}.(\omega.6 + 5) + 4) + (\omega\uparrow\uparrow 7)^{3}.((\omega\uparrow\uparrow 3)^{3}.((\omega\uparrow\uparrow 2)^{3}.2 + \omega^{5}.4) + 3) + 4) + 1) + 4\)

\(\alpha(120) = (\varphi^{4}(1,\varphi^{11}(3,\varphi^{4}(\omega^{5} + 5,\varphi^{2}((\omega\uparrow\uparrow 3)^{2}.((\omega\uparrow\uparrow 2)^{6}.(\omega^{4}.3 + \omega.2 + 2) + 5) + \omega^{6}.4 + \omega.3 + 1,(\omega\uparrow\uparrow 4)^{6}.3 + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{3}.(\omega^{6}.4) + \omega + 2_*) + 1_*) + 1_*) + 1_*)\uparrow\uparrow 3)^{(\omega\uparrow\uparrow 4)^{14}.3 + 2}.((\omega\uparrow\uparrow 5)^{4}.((\omega\uparrow\uparrow 3)^{3}.(\omega.5)) + \omega^{4} + \omega^{3}.5 + \omega.2 + 2) + (\omega\uparrow\uparrow 3)^{3}.(\omega^{3}.4 + \omega^{2}.3 + \omega.2 + 2) + 3\)

\(\alpha(130) = \varphi^{4}(4,\varphi^{3}(6,21_*) + 1_*)^{11}.((\omega\uparrow\uparrow 9).((\omega\uparrow\uparrow 2)^{3}.(\omega^{2}.4) + 2) + 3) + 3\)

\(\alpha(140) = (\varphi^{4}(1,(\omega\uparrow\uparrow 10)^{2}.((\omega\uparrow\uparrow 4)^{3}.(\omega^{2}.2 + \omega.6 + 2) + \omega^{2}.3 + 7) + (\omega\uparrow\uparrow 6)^{6}.2 + 4_*)\uparrow\uparrow 4)^{5}.4 + (\omega\uparrow\uparrow 5)^{3}.((\omega\uparrow\uparrow 3)^{3}.((\omega\uparrow\uparrow 2)^{7}.(\omega^{4}.6 + \omega^{2}.2 + \omega.2)) + 9) + (\omega\uparrow\uparrow 4)^{5} + 3\)

\(\alpha(150) = (\varphi^{4}((\omega\uparrow\uparrow 3)^{6}.6 + \omega^{2}.6 + 2,3_*)\uparrow\uparrow 2)^{9}.((\omega\uparrow\uparrow 6).((\omega\uparrow\uparrow 4)^{6}.(\omega^{2}.4 + 5) + 1) + (\omega\uparrow\uparrow 4).(\omega^{3}.6 + 16) + 3) + (\omega\uparrow\uparrow 11)^{5}.((\omega\uparrow\uparrow 3)^{4}.((\omega\uparrow\uparrow 2).(\omega.4 + 2) + 5) + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{3}.(\omega^{3}.2 + \omega^{2}.4 + 4)) + 5\)

\(\alpha(160) = (\varphi^{5}(5,0_*)\uparrow\uparrow 3)^{5}.((\omega\uparrow\uparrow 2)^{4}.(\omega^{6}.5 + 4) + \omega^{3}.4 + \omega) + \omega^{3}.9 + \omega^{2} + \omega + 1\)

\(\alpha(170) = (\varphi^{5}((\omega\uparrow\uparrow 5)^{6}.4 + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{11}.4,(\omega\uparrow\uparrow 4)^{5}.3 + \omega^{5}.12 + \omega.3 + 1_*)\uparrow\uparrow 4)^{\omega.4 + 5}.((\omega\uparrow\uparrow 6).(\omega^{5}.4 + \omega^{3}.12 + \omega^{2} + \omega.5 + 2) + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{10}.(\omega^{5}.3 + 1) + 5) + (\omega\uparrow\uparrow 12)^{4}.((\omega\uparrow\uparrow 10)^{6}.3 + 1) + (\omega\uparrow\uparrow 7)^{2}.6 + (\omega\uparrow\uparrow 4)^{3}.3 + \omega.6 + 4\)

\(\alpha(180) = (\varphi(3,\varphi^{6}(6,0_*) + 1)\uparrow\uparrow 2)^{(\omega\uparrow\uparrow 6)^{4}.((\omega\uparrow\uparrow 5)^{5}.6 + 5)}.4 + (\omega\uparrow\uparrow 5)^{6}.12 + (\omega\uparrow\uparrow 3)^{5}.(\omega^{4}.2 + \omega.5 + 3) + 4\)

\(\alpha(190) = (\varphi^{6}((\omega\uparrow\uparrow 5)^{11}.((\omega\uparrow\uparrow 2)^{6}.(\omega.9 + 4) + 3),(\omega\uparrow\uparrow 3)^{5}.4 + \omega^{2}.6 + 5_*)\uparrow\uparrow 17)^{\varphi(5,(\omega\uparrow\uparrow 5)^{4}.(\omega^{2}.3 + \omega.7 + 1) + 4)^{(\omega\uparrow\uparrow 7)^{8}.((\omega\uparrow\uparrow 4)^{5} + \omega^{5}.7 + 2) + 1}.2 + 2}.((\omega\uparrow\uparrow 4)^{4}.2 + 5) + 5\)

\(\alpha(200) = (\varphi^{9}(4,\omega^{2}.10 + \omega.4 + 3_*)\uparrow\uparrow 6)^{3}.((\omega\uparrow\uparrow 4)^{5}.4 + \omega^{3}.2) + (\varphi(9,1)\uparrow\uparrow 3)^{(\omega\uparrow\uparrow 3)^{6} + 2}.((\omega\uparrow\uparrow 6)^{8}.4 + \omega^{10}.2 + \omega^{5}.5 + \omega^{2}.7 + 1) + 5\)

\(\alpha(300) = (\varphi^{5}(1_*,3)\uparrow\uparrow 6)^{(\varphi^{4}(4,\varphi^{9}(6,2_*) + 1_*)\uparrow\uparrow 6)^{(\omega\uparrow\uparrow 5)^{3}.((\omega\uparrow\uparrow 3)^{4}.((\omega\uparrow\uparrow 2)^{10}.(\omega^{7}.3 + 1) + 14) + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{6}.(\omega^{6} + \omega^{2}.5 + 3) + \omega^{3}.4 + 9) + (\omega\uparrow\uparrow 5)^{2} + (\omega\uparrow\uparrow 4)^{3}.((\omega\uparrow\uparrow 3).((\omega\uparrow\uparrow 2)^{4}.(\omega^{7}.6 + 5) + 2) + \omega^{4}.3 + \omega^{3}.3 + \omega^{2}.3 + 3) + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{4}.5}.((\omega\uparrow\uparrow 3)^{6}.5 + \omega^{8}.5 + 11) + (\omega\uparrow\uparrow 3)^{6}.((\omega\uparrow\uparrow 2)^{5}.6 + 3) + \omega}\)

\(\alpha(400) = (\varphi^{7}((\omega\uparrow\uparrow 3) + \omega^{2}.4 + 3_*,(\omega\uparrow\uparrow 11)^{6}.((\omega\uparrow\uparrow 10).((\omega\uparrow\uparrow 2)^{12}.(\omega^{3}.10 + \omega^{2}.19 + 1) + 5) + \omega^{2}.6 + 10) + 3)\uparrow\uparrow 2)^{(\omega\uparrow\uparrow 4)^{15}.3 + \omega^{10}.6 + 4}.((\varphi^{6}(6,3_*)\uparrow\uparrow 5)^{(\varphi^{4}(3,\varphi^{4}((\omega\uparrow\uparrow 4).5 + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{7}.5 + \omega^{8}.3 + \omega.3 + 4,11_*) + 1_*)\uparrow\uparrow 16)^{11}.(\omega^{6} + \omega^{4}.3 + \omega^{3}.2) + 3}.((\omega\uparrow\uparrow 3)^{3}.10 + 2) + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{4}.(\omega^{4} + 6) + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{2}.(\omega))\)

\(\alpha(500) = (\varphi^{2}(5,\varphi^{2}((\omega\uparrow\uparrow 3)^{4}.12,(\omega\uparrow\uparrow 7).4 + (\omega\uparrow\uparrow 4).((\omega\uparrow\uparrow 3)^{6}.3 + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{4}.(\omega.4 + 9) + \omega^{9} + \omega^{4}.9 + \omega + 3) + \omega^{2}.6 + \omega.2 + 1) + 1_*)\uparrow\uparrow 2)^{4}.((\omega\uparrow\uparrow 3).3) + 3\)

\(\alpha(600) = (\varphi(4,\varphi^{4}(5,(\omega\uparrow\uparrow 4)^{7}.(\omega^{11} + \omega^{4}.2 + 1) + (\omega\uparrow\uparrow 4)^{3}.(\omega^{5}.4 + \omega^{2}.8 + \omega.10 + 5) + 1) + 1)\uparrow\uparrow 6)^{(\varphi^{4}(4,(\omega\uparrow\uparrow 2)^{5}.(\omega^{3} + 1) + 2)\uparrow\uparrow 3)^{11}.((\varphi^{3}(1,\varphi^{6}(4,6_*) + 1_*)\uparrow\uparrow 7)^{(\varphi^{3}(1,(\omega\uparrow\uparrow 4)^{2}.((\omega\uparrow\uparrow 2)^{2}.(\omega^{2} + \omega + 3) + 3) + (\omega\uparrow\uparrow 4).2_*)\uparrow\uparrow 6)^{\omega.3 + 1}.6 + 1}.4 + 19) + 2}.(\varphi^{2}(5,(\omega\uparrow\uparrow 6)^{5}.5 + (\omega\uparrow\uparrow 3).((\omega\uparrow\uparrow 2).7 + \omega^{6}.2 + \omega^{3}.4 + \omega)))\)

\(\alpha(700) = (\varphi^{5}((\omega\uparrow\uparrow 4)^{4}.3 + (\omega\uparrow\uparrow 4)^{3}.3 + 2,1)\uparrow\uparrow 3)^{(\omega\uparrow\uparrow 6)^{5}.7 + (\omega\uparrow\uparrow 5)^{5}.5 + (\omega\uparrow\uparrow 3)^{5}.3 + 4}.((\omega\uparrow\uparrow 6)^{6}.(\omega^{11} + \omega^{9}.5 + 4) + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{10}.(\omega + 4) + 1) + (\varphi((\omega\uparrow\uparrow 2).3 + \omega^{2}.10 + \omega + 4,\varphi^{4}((\omega\uparrow\uparrow 5).(\omega^{6}.5 + 1) + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{7} + 4_*,2) + 1)\uparrow\uparrow 5)^{13}.((\omega\uparrow\uparrow 9)^{4}.3 + \omega.2 + 5) + 1\)

\(\alpha(800) = (\varphi^{6}((\omega\uparrow\uparrow 10)^{4}.((\omega\uparrow\uparrow 8)^{4}.3 + (\omega\uparrow\uparrow 7)^{5}.((\omega\uparrow\uparrow 4)^{6}.(\omega.5 + 1) + (\omega\uparrow\uparrow 4)^{4}.11 + \omega^{3}.8 + \omega^{2} + \omega.6 + 12)) + (\omega\uparrow\uparrow 8)^{2}.((\omega\uparrow\uparrow 4)^{5}.(\omega^{10}.4 + \omega^{6}.5 + 6) + (\omega\uparrow\uparrow 3)^{8}.(\omega.2 + 5) + \omega.9 + 5) + (\omega\uparrow\uparrow 5)^{5}.(\omega^{2} + \omega.8 + 3) + 2,0)\uparrow\uparrow 5)^{(\omega\uparrow\uparrow 6)^{4}.4 + (\omega\uparrow\uparrow 6).((\omega\uparrow\uparrow 3)^{4}.(\omega))}\)

\(\alpha(900) = \varphi^{8}(4,(\omega\uparrow\uparrow 5)^{5}.8 + (\omega\uparrow\uparrow 3)^{3}.7 + (\omega\uparrow\uparrow 3)^{2}.2 + 3)^{2}.((\omega\uparrow\uparrow 2)^{3}.(\omega^{5}.6) + 9) + (\varphi(2,\varphi(4,0) + 1)\uparrow\uparrow 6)^{(\varphi^{10}(1,\varphi(3,(\omega\uparrow\uparrow 2)^{11}.(\omega^{9}.2 + \omega^{3} + \omega^{2}.6 + 1) + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{10}.2 + \omega^{6}.4 + 1) + 1_*)\uparrow\uparrow 9)^{(\omega\uparrow\uparrow 2)^{6}.11 + (\omega\uparrow\uparrow 2).18 + \omega^{3}.2 + \omega.6 + 3}.6 + (\varphi(3,2)\uparrow\uparrow 3)^{(\omega\uparrow\uparrow 7)^{7}.((\omega\uparrow\uparrow 5)^{4}.(\omega))}}\)

\(\alpha(1000) = \varphi(1,0,0)\)

Various Root Ordinals

\(\alpha(100) = \varphi(1,0)\)

\(\alpha(110) = \varphi((\omega\uparrow\uparrow 6)^{2}.3 + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{2}.(\omega^{6}.5 + \omega^{5}.5 + 3) + 5,(\omega\uparrow\uparrow 3)^{5}.(\omega^{10}.2 + 1) + 2)^{3}.((\varphi^{5}(1,\varphi(2,5) + 1_*)\uparrow\uparrow 12)^{4}.((\varphi^{2}(1,\varphi(2,0) + 1_*)\uparrow\uparrow 3)^{11}.4 + \varphi(2,0).12 + (\omega\uparrow\uparrow 21).((\omega\uparrow\uparrow 2)^{4}.(\omega.6 + 5) + 4) + (\omega\uparrow\uparrow 7)^{3}.((\omega\uparrow\uparrow 3)^{3}.((\omega\uparrow\uparrow 2)^{3}.2 + \omega^{5}.4) + 3) + 4) + 1) + 4\)

\(\alpha(120) = (\varphi^{4}(1,\varphi^{11}(3,\varphi^{4}(\omega^{5} + 5,\varphi^{2}((\omega\uparrow\uparrow 3)^{2}.((\omega\uparrow\uparrow 2)^{6}.(\omega^{4}.3 + \omega.2 + 2) + 5) + \omega^{6}.4 + \omega.3 + 1,(\omega\uparrow\uparrow 4)^{6}.3 + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{3}.(\omega^{6}.4) + \omega + 2_*) + 1_*) + 1_*) + 1_*)\uparrow\uparrow 3)^{(\omega\uparrow\uparrow 4)^{14}.3 + 2}.((\omega\uparrow\uparrow 5)^{4}.((\omega\uparrow\uparrow 3)^{3}.(\omega.5)) + \omega^{4} + \omega^{3}.5 + \omega.2 + 2) + (\omega\uparrow\uparrow 3)^{3}.(\omega^{3}.4 + \omega^{2}.3 + \omega.2 + 2) + 3\)

\(\alpha(130) = \varphi^{4}(4,\varphi^{3}(6,21_*) + 1_*)\)

\(\alpha(140) = (\varphi^{4}(1,(\omega\uparrow\uparrow 10)^{2}.((\omega\uparrow\uparrow 4)^{3}.(\omega^{2}.2 + \omega.6 + 2) + \omega^{2}.3 + 7) + (\omega\uparrow\uparrow 6)^{6}.2 + 4_*)\uparrow\uparrow 4)^{5}.4 + (\omega\uparrow\uparrow 5)^{3}.((\omega\uparrow\uparrow 3)^{3}.((\omega\uparrow\uparrow 2)^{7}.(\omega^{4}.6 + \omega^{2}.2 + \omega.2)) + 9) + (\omega\uparrow\uparrow 4)^{5} + 3\)

\(\alpha(150) = (\varphi^{4}((\omega\uparrow\uparrow 3)^{6}.6 + \omega^{2}.6 + 2,3_*)\uparrow\uparrow 2)^{9}.((\omega\uparrow\uparrow 6).((\omega\uparrow\uparrow 4)^{6}.(\omega^{2}.4 + 5) + 1) + (\omega\uparrow\uparrow 4).(\omega^{3}.6 + 16) + 3) + (\omega\uparrow\uparrow 11)^{5}.((\omega\uparrow\uparrow 3)^{4}.((\omega\uparrow\uparrow 2).(\omega.4 + 2) + 5) + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{3}.(\omega^{3}.2 + \omega^{2}.4 + 4)) + 5\)

\(\alpha(160) = \varphi^{5}(5,0_*)\)

\(\alpha(170) = (\varphi^{5}((\omega\uparrow\uparrow 5)^{6}.4 + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{11}.4,(\omega\uparrow\uparrow 4)^{5}.3 + \omega^{5}.12 + \omega.3 + 1_*)\uparrow\uparrow 4)^{\omega.4 + 5}.((\omega\uparrow\uparrow 6).(\omega^{5}.4 + \omega^{3}.12 + \omega^{2} + \omega.5 + 2) + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{10}.(\omega^{5}.3 + 1) + 5) + (\omega\uparrow\uparrow 12)^{4}.((\omega\uparrow\uparrow 10)^{6}.3 + 1) + (\omega\uparrow\uparrow 7)^{2}.6 + (\omega\uparrow\uparrow 4)^{3}.3 + \omega.6 + 4\)

\(\alpha(180) = \varphi(3,\varphi^{6}(6,0_*) + 1)\)

\(\alpha(190) = (\varphi^{6}((\omega\uparrow\uparrow 5)^{11}.((\omega\uparrow\uparrow 2)^{6}.(\omega.9 + 4) + 3),(\omega\uparrow\uparrow 3)^{5}.4 + \omega^{2}.6 + 5_*)\uparrow\uparrow 17)^{\varphi(5,(\omega\uparrow\uparrow 5)^{4}.(\omega^{2}.3 + \omega.7 + 1) + 4)^{(\omega\uparrow\uparrow 7)^{8}.((\omega\uparrow\uparrow 4)^{5} + \omega^{5}.7 + 2) + 1}.2 + 2}.((\omega\uparrow\uparrow 4)^{4}.2 + 5) + 5\)

\(\alpha(200) = (\varphi^{9}(4,\omega^{2}.10 + \omega.4 + 3_*)\uparrow\uparrow 6)^{3}.((\omega\uparrow\uparrow 4)^{5}.4 + \omega^{3}.2) + (\varphi(9,1)\uparrow\uparrow 3)^{(\omega\uparrow\uparrow 3)^{6} + 2}.((\omega\uparrow\uparrow 6)^{8}.4 + \omega^{10}.2 + \omega^{5}.5 + \omega^{2}.7 + 1) + 5\)

\(\alpha(215.44347) = \varphi^{2}(1_*,0)\)

\(\alpha(240.40992) = \varphi^{3}(1_*,0)\)

\(\alpha(300) = \varphi^{5}(1_*,3)\)

\(\alpha(400) = (\varphi^{7}((\omega\uparrow\uparrow 3) + \omega^{2}.4 + 3_*,(\omega\uparrow\uparrow 11)^{6}.((\omega\uparrow\uparrow 10).((\omega\uparrow\uparrow 2)^{12}.(\omega^{3}.10 + \omega^{2}.19 + 1) + 5) + \omega^{2}.6 + 10) + 3)\uparrow\uparrow 2)^{(\omega\uparrow\uparrow 4)^{15}.3 + \omega^{10}.6 + 4}.((\varphi^{6}(6,3_*)\uparrow\uparrow 5)^{(\varphi^{4}(3,\varphi^{4}((\omega\uparrow\uparrow 4).5 + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{7}.5 + \omega^{8}.3 + \omega.3 + 4,11_*) + 1_*)\uparrow\uparrow 16)^{11}.(\omega^{6} + \omega^{4}.3 + \omega^{3}.2) + 3}.((\omega\uparrow\uparrow 3)^{3}.10 + 2) + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{4}.(\omega^{4} + 6) + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{2}.(\omega))\)

\(\alpha(500) = (\varphi^{2}(5,\varphi^{2}((\omega\uparrow\uparrow 3)^{4}.12,(\omega\uparrow\uparrow 7).4 + (\omega\uparrow\uparrow 4).((\omega\uparrow\uparrow 3)^{6}.3 + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{4}.(\omega.4 + 9) + \omega^{9} + \omega^{4}.9 + \omega + 3) + \omega^{2}.6 + \omega.2 + 1) + 1_*)\uparrow\uparrow 2)^{4}.((\omega\uparrow\uparrow 3).3) + 3\)

\(\alpha(600) = (\varphi(4,\varphi^{4}(5,(\omega\uparrow\uparrow 4)^{7}.(\omega^{11} + \omega^{4}.2 + 1) + (\omega\uparrow\uparrow 4)^{3}.(\omega^{5}.4 + \omega^{2}.8 + \omega.10 + 5) + 1) + 1)\uparrow\uparrow 6)^{(\varphi^{4}(4,(\omega\uparrow\uparrow 2)^{5}.(\omega^{3} + 1) + 2)\uparrow\uparrow 3)^{11}.((\varphi^{3}(1,\varphi^{6}(4,6_*) + 1_*)\uparrow\uparrow 7)^{(\varphi^{3}(1,(\omega\uparrow\uparrow 4)^{2}.((\omega\uparrow\uparrow 2)^{2}.(\omega^{2} + \omega + 3) + 3) + (\omega\uparrow\uparrow 4).2_*)\uparrow\uparrow 6)^{\omega.3 + 1}.6 + 1}.4 + 19) + 2}.(\varphi^{2}(5,(\omega\uparrow\uparrow 6)^{5}.5 + (\omega\uparrow\uparrow 3).((\omega\uparrow\uparrow 2).7 + \omega^{6}.2 + \omega^{3}.4 + \omega)))\)

\(\alpha(700) = (\varphi^{5}((\omega\uparrow\uparrow 4)^{4}.3 + (\omega\uparrow\uparrow 4)^{3}.3 + 2,1)\uparrow\uparrow 3)^{(\omega\uparrow\uparrow 6)^{5}.7 + (\omega\uparrow\uparrow 5)^{5}.5 + (\omega\uparrow\uparrow 3)^{5}.3 + 4}.((\omega\uparrow\uparrow 6)^{6}.(\omega^{11} + \omega^{9}.5 + 4) + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{10}.(\omega + 4) + 1) + (\varphi((\omega\uparrow\uparrow 2).3 + \omega^{2}.10 + \omega + 4,\varphi^{4}((\omega\uparrow\uparrow 5).(\omega^{6}.5 + 1) + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{7} + 4_*,2) + 1)\uparrow\uparrow 5)^{13}.((\omega\uparrow\uparrow 9)^{4}.3 + \omega.2 + 5) + 1\)

\(\alpha(800) = (\varphi^{6}((\omega\uparrow\uparrow 10)^{4}.((\omega\uparrow\uparrow 8)^{4}.3 + (\omega\uparrow\uparrow 7)^{5}.((\omega\uparrow\uparrow 4)^{6}.(\omega.5 + 1) + (\omega\uparrow\uparrow 4)^{4}.11 + \omega^{3}.8 + \omega^{2} + \omega.6 + 12)) + (\omega\uparrow\uparrow 8)^{2}.((\omega\uparrow\uparrow 4)^{5}.(\omega^{10}.4 + \omega^{6}.5 + 6) + (\omega\uparrow\uparrow 3)^{8}.(\omega.2 + 5) + \omega.9 + 5) + (\omega\uparrow\uparrow 5)^{5}.(\omega^{2} + \omega.8 + 3) + 2,0)\uparrow\uparrow 5)^{(\omega\uparrow\uparrow 6)^{4}.4 + (\omega\uparrow\uparrow 6).((\omega\uparrow\uparrow 3)^{4}.(\omega))}\)

\(\alpha(900) = \varphi^{8}(4,(\omega\uparrow\uparrow 5)^{5}.8 + (\omega\uparrow\uparrow 3)^{3}.7 + (\omega\uparrow\uparrow 3)^{2}.2 + 3)^{2}.((\omega\uparrow\uparrow 2)^{3}.(\omega^{5}.6) + 9) + (\varphi(2,\varphi(4,0) + 1)\uparrow\uparrow 6)^{(\varphi^{10}(1,\varphi(3,(\omega\uparrow\uparrow 2)^{11}.(\omega^{9}.2 + \omega^{3} + \omega^{2}.6 + 1) + (\omega\uparrow\uparrow 2)^{10}.2 + \omega^{6}.4 + 1) + 1_*)\uparrow\uparrow 9)^{(\omega\uparrow\uparrow 2)^{6}.11 + (\omega\uparrow\uparrow 2).18 + \omega^{3}.2 + \omega.6 + 3}.6 + (\varphi(3,2)\uparrow\uparrow 3)^{(\omega\uparrow\uparrow 7)^{7}.((\omega\uparrow\uparrow 5)^{4}.(\omega))}}\)

or

\(\alpha(900) = \varphi^{8}(4,\beta.\gamma_*)\) where

\(\beta = \) WORK IN PROGRESS

\(\gamma = \) WORK IN PROGRESS

\(\alpha(1000) = \varphi(1,0,0)\)