10,044 Pages

## Hyperoperations of the first transfinite ordinal omega

Definition

$\omega\uparrow^1\alpha=\omega^\alpha$

for $\alpha>0:$

• $\omega\uparrow^{\alpha+1}0=1$
• $\omega\uparrow^{\alpha+1}(\beta+1)=\omega\uparrow^{\alpha}(\omega\uparrow^{\alpha+1}\beta)$ if $\beta=\gamma+1$
• $\omega\uparrow^{\alpha+1}\beta=\text{sup}\{\omega\uparrow^{\alpha+1}\gamma|\gamma<\beta\}$ if $\beta$ is a limit ordinal
• $\omega\uparrow^{\alpha+1}(\beta+1)=(\omega\uparrow^{\alpha+1}\beta)+1$ if $\beta$ is a limit ordinal

Analysis

• $\omega\uparrow^20=1$
• $\omega\uparrow^21=\omega$
• $\omega\uparrow^22=\omega^{\omega}$
• $\omega\uparrow^2\omega=\varepsilon_0$
• $\omega\uparrow^2(\omega+1)=\varepsilon_0+1$
• $\omega\uparrow^2(\omega+2)=\omega^{\varepsilon_0+1}=\varepsilon_0\omega$
• $\omega\uparrow^2(\omega+3)=\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}=\varepsilon_0^\omega$
• $\omega\uparrow^2(\omega+4)=\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}}=\varepsilon_0^{\varepsilon_0^\omega}$
• $\omega\uparrow^2(\omega2)=\varepsilon_1$
• $\omega\uparrow^2(\omega2+1)=\varepsilon_1+1$
• $\omega\uparrow^2(\omega2+2)=\omega^{\varepsilon_1+1}=\varepsilon_1\omega$
• $\omega\uparrow^2(\omega2+3)=\omega^{\omega^{\varepsilon_1+1}}=\varepsilon_1^\omega$
• $\omega\uparrow^2(\omega2+4)=\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_1+1}}}=\varepsilon_1^{\varepsilon_1^\omega}$
• $\omega\uparrow^2\omega n=\varepsilon_n$
• $\omega\uparrow^2\omega^2=\varepsilon_\omega$
• $\omega\uparrow^2\omega^22=\varepsilon_{\omega2}$
• $\omega\uparrow^2\omega^3=\varepsilon_{\omega^2}$
• $\omega\uparrow^2\omega^\omega=\varepsilon_{\omega^\omega}$
• $\omega\uparrow^2(\omega\uparrow^2\omega)=\varepsilon_{\varepsilon_0}$
• $\omega\uparrow^3 0=1$
• $\omega\uparrow^3 1=\omega\uparrow^21=\omega$
• $\omega\uparrow^3 2=\omega\uparrow^2\omega=\varepsilon_0$
• $\omega\uparrow^3 3=\omega\uparrow^2(\omega\uparrow^2\omega)=\varepsilon_{\varepsilon_0}$
• $\omega\uparrow^3 \omega=\zeta_0$
• $\omega\uparrow^3 (\omega+1)=\zeta_0+1$
• $\omega\uparrow^3 (\omega+2)=\omega\uparrow^2(\zeta_0+1)$