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I have devised another type of arrow notation similar to Conway's chained arrow notation. I think it's more straightforward than most of my notations/functions, so it'll be easier to follow.

## Definition of $$a\leftrightarrow b$$

• $$a\leftrightarrow 1$$ = $$a\uparrow ^{a}a$$ = $$a\underset{a}{\underbrace{\uparrow \uparrow . . . \uparrow \uparrow }}a$$
• $$a,b\leftrightarrow 1$$ = $$a\uparrow ^{b}a$$ = $$a\underset{b}{\underbrace{\uparrow \uparrow . . . \uparrow \uparrow }}a$$
• meaning,
• $$a,a\leftrightarrow 1$$ = $$a\uparrow ^{a}a$$ = $$a\leftrightarrow 1$$
• $$a\leftrightarrow 1$$ is also equal to $$A(n)$$ using basic Ackermann function
• ​$$a\leftrightarrow 2$$ =
• $$a,b,c\leftrightarrow 2$$ =
• $$a,a,c\leftrightarrow 2$$ = $$a,c\leftrightarrow 2$$ =
• $$a\leftrightarrow 3$$ =
• $$a\leftrightarrow 4$$ =
• $${a,\underset{b}{\underbrace{a,a,a,...a,a}}}\leftrightarrow b$$ = $$a\leftrightarrow b$$
• $${a,\underset{b}{\underbrace{a,a,a,...a,a,c}}}\leftrightarrow b$$ = $$a,c\leftrightarrow b$$
• $${a,\underset{b}{\underbrace{a,a,a,...a,a,c,d}}}\leftrightarrow b$$ = $$a,c,d\leftrightarrow b$$
• $$a\leftrightarrow b$$ = $$a\left \{\left \{b-1\right \}\right \}a$$ or $$\left \{ a,a,b-1,2\right \}$$ in BEAF, or $$a\rightarrow a\rightarrow a\rightarrow b$$ in Chained arrow notation.

## Part two

This part is very similar, and works very much the same way as Up-arrow notation, except that there are left-right arrows instead of up arrows.

### two arrows

• $$a\leftrightarrow\leftrightarrow 1$$ = a
• $$a\leftrightarrow\leftrightarrow 2$$ = $$a\leftrightarrow a$$
• $$a\leftrightarrow\leftrightarrow 3$$ = $$a\leftrightarrow (a\leftrightarrow a)$$
• $$a\leftrightarrow\leftrightarrow 4$$ = $$a\leftrightarrow (a\leftrightarrow (a\leftrightarrow a))$$
• $$a\leftrightarrow\leftrightarrow b$$  = $$\underset{b}{\underbrace{a\leftrightarrow (a\leftrightarrow (a\leftrightarrow (a\leftrightarrow ...(a\leftrightarrow (a\leftrightarrow a}})))...)))$$

### three arrows

• $$a\leftrightarrow\leftrightarrow\leftrightarrow 1$$  = a
• $$a\leftrightarrow\leftrightarrow\leftrightarrow 2$$  = $$a\leftrightarrow\leftrightarrow a$$
• $$a\leftrightarrow\leftrightarrow\leftrightarrow 3$$  = $$a\leftrightarrow\leftrightarrow (a\leftrightarrow\leftrightarrow a)$$
• $$a\leftrightarrow\leftrightarrow\leftrightarrow 4$$  = $$a\leftrightarrow\leftrightarrow (a\leftrightarrow\leftrightarrow (a\leftrightarrow\leftrightarrow a))$$
• $$a\leftrightarrow\leftrightarrow\leftrightarrow b$$  = $$\underset{b}{\underbrace{a\leftrightarrow\leftrightarrow (a\leftrightarrow\leftrightarrow (a\leftrightarrow\leftrightarrow (a\leftrightarrow\leftrightarrow ...(a\leftrightarrow\leftrightarrow (a\leftrightarrow\leftrightarrow a}})))...)))$$
• $$a\leftrightarrow\leftrightarrow\leftrightarrow b$$  can also be written as $$a\leftrightarrow^{3} b$$

### four arrows

• $$a\leftrightarrow\leftrightarrow\leftrightarrow\leftrightarrow 1$$  = $$a\leftrightarrow^{4} 1$$ = a
• $$a\leftrightarrow^{4} 2$$ = $$a\leftrightarrow\leftrightarrow\leftrightarrow a$$
• $$a\leftrightarrow^{4} b$$ = $$\underset{b}{\underbrace{a\leftrightarrow\leftrightarrow\leftrightarrow (a\leftrightarrow\leftrightarrow\leftrightarrow (a\leftrightarrow\leftrightarrow\leftrightarrow (a\leftrightarrow\leftrightarrow\leftrightarrow ...(a\leftrightarrow\leftrightarrow\leftrightarrow (a\leftrightarrow\leftrightarrow\leftrightarrow a}})))...)))$$

### multiple arrows

• $$a\leftrightarrow^{c} b$$ = $$a\underset{c}{\underbrace{\leftrightarrow\leftrightarrow...\leftrightarrow\leftrightarrow }}b$$ = $$\underset{b}{\underbrace{a\leftrightarrow^{c-1} (a\leftrightarrow^{c-1} (a\leftrightarrow^{c-1} (a\leftrightarrow^{c-1} ...(a\leftrightarrow^{c-1} (a\leftrightarrow^{c-1} a}})))...)))$$
• $$a\leftrightarrow^{c} b$$ = $$a\left \{\left \{\left \{c\right \}\right \}\right \}b$$ = $$\left \{a,b,c,3\right \}$$ in BEAF

## Operators in Left-right arrow notation

• extension = $$a\leftrightarrow b$$
• ​9 extended to 2 = $$9\leftrightarrow 2$$